A kör területének meghatározása fontos feladat a geometriában. Az eredmény kiszámítása viszonylag egyszerű, ha ismerjük a kör sugarát. Azonban ha ez az adat hiányzik, ne aggódjunk! Számos más képlet segítségével meghatározhatjuk a területet más adatokból kiindulva. Olvass tovább, és ismerd meg, hogyan számolhatod ki a kör területét a sugarát, átmérőjét, kerületét vagy akár egy kör szektorát felhasználva.
Hogyan használjuk a sugárt terület számítására
Sugár meghatározása
Az első lépés a kör sugarának meghatározása. A sugár a kör középpontjától az élekig terjedő távolság. Bármely irányban lemérhető, és mindig ugyanaz lesz. A sugár ugyanakkor a kör átmérőjének felével egyenlő. Az átmérő a vonal, amely átmegy a középponton és összeköti a kör ellentétes oldalait.
A sugárra általában rá van írva az értéke. A kör középpontjának pontos meghatározása nehéz lehet, kivéve, ha a középpontot már előre megjelölték a papíron rajzolt körön.
Ebben az példában feltételezzük, hogy a megadott kör sugara 6 cm.
A terület kiszámítása
A következő lépés a sugár négyzetének kiszámítása. A kör területének képlete, ahol a változó a sugárt jelenti. Ez a változó négyzetre emelkedik.
Ne tévessze össze a képlet egészét a sugár négyzetével!
Az adott sugárra vonatkozó példában:
Terület = sugár² x π = 6² x π = 36π
Π értékének alkalmazása
Π, melyet a görög betűvel jelölünk, a kör kerületének és átmérőjének arányát jelképező matematikai állandó. Decimális közelítéssel, Π körülbelül 3,14. Az igazi decimális érték végtelen. Egy kör területének pontos megadásához általában a jelzést használjuk.
Az adott példában, ahol a sugár 6 cm, a terület az alábbiak szerint számolható ki:
Terület = 36π ≈ 113,04 cm²
Az eredmény jelentése
Fontos, hogy a terület kiszámítása “négyzet” mértékegységekben lesz megadva. Ha a sugár centiméterben lett lemérve, akkor a terület négyzetcentiméterben lesz. Ha a sugárt lábban mérték, akkor a terület négyzetlábban lesz. Tudni kell azt is, hogy a jelzést vagy a numerikus közelít
A terület számítása az átmérőből
Az átmérő mérése vagy rögzítése
Előfordulhat, hogy bizonyos problémák vagy helyzetek nem szolgáltatják a sugárt. Ehelyett a kör átmérőjét kapjuk meg. Ha az átmérőt a diagramba rajzolják, akkor egy vonalzó segítségével mérhető. Alternatív megoldásként csak az átmérő értékét kapjuk meg.
Ebben a példában tegyük fel, hogy a kör átmérője 20 hüvelyk.
Az átmérő felezése
Emlékezzünk arra, hogy az átmérő kétszerese a sugárnak. Tehát bármilyen értéket kapunk az átmérőhöz, osszuk el kettővel, hogy megtaláljuk a sugárt.
Az adott példában, ahol az átmérő 20 hüvelyk, a sugár 20/2, vagyis 10 hüvelyk.
Az eredeti terület képletének alkalmazása
Az átmérőből kiszámított sugár beilleszthető az eredeti képletbe, hogy megtudjuk a kör területét. A számításokat az alábbiak szerint kell elvégezni:
Terület = sugár² x π = 10² x π ≈ 314 négyzet hüvelyk
Az eredmény jelentése
Fontos, hogy a terület kiszámítása “négyzet” mértékegységekben történik. Ha az átmérőt hüvelykben mérték, akkor a sugár is hüvelykben lesz. Ezért a terület is négyzet hüvelykben lesz megadva. Az adott példában a terület 314 négyzet hüvelyk lesz.
A terület közelítő értékét is megadhatjuk, ha megszorozzuk az eredményt 3,14-gyel. Így kapunk egy eredményt, ami 100 x 3,14 = 314 négyzet hüvelyk.
A terület számítása kerület felhasználásával
A képletbe való behelyettesítés
A kör területének képletét módosíthatjuk az általunk kapott kerület és a sugár közötti kapcsolat felhasználásával. Az alábbi egyenlőség segítségével helyettesíthetjük a képletben a sugár helyére a kapcsolatot:
sugár = kerület / 2π
Ezt az egyenlőséget behelyettesítve az eredeti terület képletébe az alábbi lépésekkel számíthatjuk ki a kör területét:
…..(eredeti terület képlet)
…..(helyettesítsük a sugárat az előbbi egyenlőséggel)
…..(négyzetre emeljük a törtet)
…..(egyszerűsítjük a számlálót és a nevezőt)
A javított képlet alkalmazása
Az így kapott képletet az alábbi módon alkalmazhatjuk a terület számításához, közvetlenül a kerület felhasználásával:
Terület = kerület² / 4π
Az adott példában a kerület értéke 42 cm, így a számítást az alábbiak szerint végezhetjük el:
Terület = (42²) / (4 x π) ≈ 139,36 cm²
Az eredmény jelentése
Fontos, hogy a terület kiszámítása “négyzet” mértékegységekben történik. Ha a kerületet centiméterben mérték, akkor a terület is centiméterben lesz megadva. Az eredményt a π egy törtjeként kapjuk meg, ha nem egész értéket kapunk. Ezzel nincs semmi probléma, az eredményt a π-t tartalmazó alakban is jelenthetjük, vagy megközelíthetjük 3,14-gyel való osztással.
Az adott példában a kör területe 139,36 cm² lesz, ha az eredményt pontosan szeretnénk megadni. Ha az eredményt közelítően szeretnénk megadni, akkor az eredmény körülbelül 140 cm² lesz, ha 3,14-gyel közelítjük a π-t.
A terület számítása a kör egy szakaszából
Az ismert vagy adott információk azonosítása
A néhány feladatban előfordulhat, hogy egy kör szakaszáról adnak meg információkat, majd arra kérik Önt, hogy számítsa ki a teljes kör területét. Olvassa el a feladatot alaposan, és keressen információkat, amelyek valami olyasmit mondhatnak, hogy “Az O kör egy szakasza 15 cm²-es területű. Határozza meg az O kör területét”.
A választott szakasz meghatározása
A kör szakasza néha olyan részét jelenti, amelyet “klinet” néven is emlegetnek. A szakasz meghatározása két sugarat jelent, amelyeket a középpontból a kör szélére húznak. Az ezek közötti tér a szakasz.
A szakasz központi szögének mérése
A szakasz központi szögét a két sugarak által bezárt szöggel mérjük meg. Ehhez használhatunk szögmérőt, amelynek alapját az egyik sugáron kell elhelyezni, a középpontot pedig össze kell igazítani a szögmérő központjával. Ezután olvassa el az alappontjának pozíciójához tartozó szögmérő mértéket, amely a második sugár helyzetét jelöli ki.
Győződjön meg arról, hogy tudja, a két sugarak közötti kis szöget vagy a nagyobb szöget kívánja-e mérni. A feladat meghatározhatja ezt Önnek. A kis szög és a nagy szög összege 360 fok lesz.
Néhány feladatban, ahelyett hogy közvetlenül mérnie kellene a központi szöget, a feladat csak az értéket adja meg. Például elmondhatják Önnek, hogy “A szakasz központi szöge 45 fok”.
A terület számítása módosított képlettel
Ha ismeri a kör szakaszának területét és központi szögét, akkor az alábbi módosított képletet használhatja a teljes kör területének meghatározásához:
ahol:
- Az A a teljes kör területe
- Az a a szakasz területe
- Az θ a központi szög mérete
Adja meg az ismert értékeket, majd oldja meg a területet. Ebben az példában Önnek azt mondták, hogy a központi szög 45 fok, a szakasz területe pedig 15. Illessze ezeket a képletbe és oldja meg az alábbiak szerint:
Az eredmény jelentése. Ebben az példában a szakasz a teljes kör egy nyolcadát jelentette. Ezért a teljes kör területe 120 cm². Mivel a szakasz területét π formájában adták meg, feltételezhetjük, hogy a teljes kör területe is hasonlóan kerül jelentésre.
Ha numerikus értéket szeretne jelenteni, akkor szorozza meg az 120 x 3,14 értéket, hogy 376,8 cm² értéket kapjon.
Jelenleg azt nézed: Kör területének kiszámítása – Hogyan számoljuk ki a kör területét?
